Zacks Tennis

Freitag, 17. Juni 2011

Die Isner-Mahut-Wahrscheinlichkeit: 1:142,5

Das ist der Knaller der Wimbledon-Auslosung: John Isner und Nicolas Mahut treffen in der ersten Runde aufeinander. Die beiden Männer, die sich vor einem Jahr an gleicher Stelle drei Tage lang duellierten, bis Isner das Rekord-Match mit 70:68 im fünften Satz für sich entschied. Ein Mathe-Blogger kam seinerzeit zu der Erkenntnis, das so etwas nach den Regeln der Wahrscheinlichkeit nur alle 200 Jahre vorkommen dürfte.

Aber wie groß war nun die Wahrscheinlichkeit, dass ausgerechnet Isner und Mahut in diesem Jahr wieder in der ersten Wimbledon-Runde aufeinandertreffen. Dazu kursierten heute die absonderlichsten Zahlen bis hin zu einer Wahrscheinlichkeit von 1:16256. Aber rechnen wir mal nach. Dazu hole ich gern meine lang verschütteten Kenntnisse aus dem Mathe-Leistungskurs heraus und bedanke mich bei Herrn Kabus für seine hohen Unterrichtsansprüche.

Zunächst einmal setzen wir aus gegeben voraus, dass Isner und Mahut überhaupt beide wieder an Wimbledon teilnehmen. Auf den ersten Blick scheint es nun ganz einfach: 128 Spieler nehmen teil. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler auf einen bestimmten anderen trifft, beträgt also 1:127. So einfach ist es aber nicht. Denn es gibt ja eine Setzliste. Die 32 gesetzten Spieler können nicht aufeinander treffen. Isner und Mahut sind beide ungesetzt, insofern könnte man denken, das ist dann ja egal. Ist es aber nicht. Denn weil die gesetzten Spieler garantiert alle auf ungesetzte Spieler treffen, hat ein ungesetzter Spieler eine höhere Wahrscheinlichkeit, auf einen gesetzten zu treffen als auf einen ungesetzten.

Im Wimbledon-Tableau sind also 32 Plätze schon einmal für die gesetzten Spieler belegt. John Isner wird auf einen der verbleibenden anderen 96 Plätze gelost. Seine Wahrscheinlichkeit, einen der 32 gesetzten Spieler als Gegner abzubekommen, beträgt also 32:96, das ist genau 1:3.

Die Wahscheinlichkeit für John Isner, auf einen ungesetzten Spieler zu treffen, beträgt also 2:3. Das entspricht bekanntlich 66,67 Prozent. Nun muss dieser ungesetzte Spieler also von allen 95 Kandidaten ausgerechnet Nicolas Mahut sein. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ein Fünfundneunzigstel von diesen 66,67 Prozent. Das sind 0,702 Prozent, oder - wie man es mathematisch ausdrückt: 0,007017543859649. Das wiederum entspricht exakt 1:142,5

Kommentare:

noko hat gesagt…

Hehe :)
Netter Beitrag.

Die ominösen 16256 sind 128*127 und implizieren die Annahme, dass es wichtig ist, was die Wahrscheinlichkeit dafür ist, ob sich zwei Spieler an einer bestimmten Stelle im Draw treffen (Setzlisten außen vorgelassen). Ein bisschen so, wie wenn man behauptet, die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch zu würfeln, sei 36, weil man vergisst, dass es egal ist, welchen von den 6 Paschs man würfelt.

Ah, nebenbei. Du schreibst: "Denn weil die gesetzten Spieler garantiert alle auf ungesetzte Spieler treffen, hat ein ungesetzter Spieler eine höhere Wahrscheinlichkeit, auf einen gesetzten zu treffen als auf einen ungesetzten.", um gleich danach zu zeigen, dass das nicht stimmt, auch wenn ich verstehe, was damit gemeint sein soll.

Will hier aber eigentlich nicht klugscheißen ;)

noko hat gesagt…

Ich meinte natürlich 1:36.

Afri-Cola hat gesagt…

Hallo,

ich glaube, deine Rechnung ist nicht ganz richtig.
Du musste nämlich nicht nur die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass Isner auf einen ungesetzten Spieler trifft, sondern auch die Wahrscheinlichkeit, dass Mahut auf einen ungesetzten Spieler trifft.

Ein Fünfundneunzigstel ist nicht die Wahrscheinlichkeit dass bei den verbleibenden ungesetzten Mahut auf Isner trifft, sonden dass einer der beiden an einem bestimmten Spiel teilnimmt.

Es gibt 64! verschiedene Möglichkeiten, wie die ungesetzten Spieler, welche nicht gegen einen gesetzten Spieler antreten, ausgelost werden können. Befinden sich Isner und Mahut im gleichen Spiel, dann gibt es noch 62! verschiedene Permutationen für die Auslosung der übrigen Spieler. Das bedeutet 62!/64!=P, also die Wahrscheinlichkeit dass Mamut und Isner gegeneinander spielen, wenn sie nicht gegen einen gesetzten Spieler antreten ... oder anders ausgedrückt: P=1/63*1/64
Es wird also Multipliziert die Wahrscheinlichkeit dass Isner in Spiel XY ist mit der Wahrscheinlichkeit dass Mamut im gleichen Spiel ist.

Natürlich ist es total egal, an welcher Stelle der Auslosungstabelle die beiden nebeneinander stehen ... also welcher Platz/welches Spiel.
Das multipliziert das Ganze mit 32, also die Anzahl der Spiele von ungesetztem Spieler gegen einen anderen ungesetzten

Die Gesamtwahrscheinlichkeit wäre meiner Meinung nach nun:
P=2/3*2/3*1/64*1/63*32
P=0,35%


Kann natürlich auch sein, dass ich mich ebenfalls irre. :D
Meine letzte Mathe-Vorlesung is ja auch schon 6 Jahre her.

Afri-Cola hat gesagt…

Ach nochwas. Hab noch eine Korrektur.
Die Wahrscheinlichkeit von z.B. Isner auf einen ungesetzten Spieler zu treffen beträgt nicht 64:96.
Für Mahut gilt das aber nicht, seine Wahrscheinlichkeit zu den Spielern zu gehören, welche gegen einen Ungesetzten spielen liegt nun bei 63:95.

Nun also:

P=64/96*63/95*1/63*1/64*32=0,35%

Ok ... ändert erst die dritte Nachkommastelle ;)

Wer nun kürzt sieht man:
P=1/96*1/95*32

Das ist soviel wie P=(92!/94!)*32

Also die Kehrbruch von den Permutationen in welcher Reihenfolge die Ungesetzten beim Auslosen gezogen werden konnten, multipliziert mit den Permutationen, die möglich sind, wenn sich Isner und Mahut an einer bestimmten Stelle befinden, multipliziert mit der Anzahl der Spiele, bei denen ein ungesetzter gegen einen anderen ungesetzten antritt.

Nun ists vielleicht richtig.

Zack hat gesagt…

Hey Cola, ich bin immer noch der Ansicht, dass ich richtig liege, zumal inzwischen auch andere unabhängig von mir zu demselben Ergebnis gekommen sind wie ich.

Stelle dir folgende Vorgehensweise bei der Auslosung vor, die zwar in der Reihenfolge so nicht praktiziert wird, was für die Wahrscheinlichkeit aber egal ist:

Die 32 gesetzten Spieler sind im Tableau platziert. Nun gibt es 32 Plätze für ungesetztes Spieler, auf denen sie auf einen der gesetzten treffen und 64 andere Plätze - insgesamt 96. Nun wird Isner auf einen dieser Plätze gelost. Wahrscheinlichkeit 2/3, dass er einen der 64 Plätze erwischt, auf denen er auf einen ungesetzten trifft. Als nächstes wird Mahut auf irgendeine Position im Tableau gelost. Von den 96 Positionen sind nur noch 95 übrig. Auf der 96. ist ja schon Isner. Wahrscheinlichkeit 1/95 von 2/3, dass Isner und Mahut aufeinandertreffen. Da ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mahut auf einen Ungesetzten trifft, schon drin.

Ich habe jetzt noch mal deine Rechnung durchgesehen: Du musst bedenken, dass es nicht nur egal ist, an welcher Stelle Isner und Mahut aufeinandertreffen, sondern auch, dass es egal ist, ob zuerst Isner oder zuerst Mahut aus der Lostrommel gezogen wird, ob das Spiel also Mahut-Isner oder Isner-Mahut lautet. Und dann kämen wir plötzlich zum selben Ergebnis. Mein 1/142,5 ist nämlich das Doppelte von deinem 0,35%.

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